昨日官方更新权威研究结果,轮换与对换：探讨两者在数学中的紧密关系

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在数学的世界里，概念和原理错综复杂，相互交织。其中，“轮换”与“对换”是两个看似相似，实则有着微妙区别的概念。本文将深入探讨轮换与对换的关系，揭示它们在数学中的紧密联系。 首先，让我们明确这两个概念的定义。轮换，通常指将一组元素按照一定的顺序进行循环移动。而对换，则是指将一组元素中任意两个元素的位置进行交换。从定义上看，两者都涉及元素位置的变动，但它们在数学中的应用和意义却有着明显的差异。 在排列组合中，轮换与对换的关系尤为密切。例如，考虑一个由n个元素组成的排列，我们可以通过轮换来得到这个排列的所有可能的轮换排列。具体来说，对于任意一个排列，我们可以将其中的任意两个相邻元素进行轮换，然后继续对轮换后的排列进行轮换，如此循环，直到所有的元素都回到了原来的位置。这样，我们就得到了这个排列的所有轮换排列。 然而，对换与轮换的关系并非如此简单。虽然对换也可以改变元素的位置，但它并不一定涉及到所有元素。在排列组合中，对换通常用于描述两个元素之间的位置关系。例如，在一个由n个元素组成的排列中，如果我们将任意两个元素进行对换，那么这个排列将变为一个新的排列，这个新的排列与原来的排列之间的关系就是对换关系。 尽管轮换与对换在数学中的应用有所不同，但它们之间仍然存在着紧密的联系。以下是几个方面： 1. 轮换与对换的乘法原理：在排列组合中，轮换与对换的乘法原理表明，任意一个排列都可以表示为若干个轮换和对换的乘积。这个原理为排列组合的计算提供了重要的理论依据。 2. 轮换与对换的逆运算：在排列组合中，轮换和对换都可以进行逆运算。对于轮换，我们可以通过逆轮换来恢复原来的排列；对于对换，我们可以通过逆对换来恢复原来的排列。这种逆运算的关系使得轮换与对换在数学中具有可逆性。 3. 轮换与对换的对称性：在数学中，轮换与对换都具有对称性。对于轮换，我们可以将其中的任意两个相邻元素进行轮换，然后继续对轮换后的排列进行轮换，最终得到所有轮换排列；对于对换，我们可以将任意两个元素进行对换，然后继续对对换后的排列进行对换，最终得到所有对换排列。 总之，轮换与对换是数学中两个密切相关但又有区别的概念。它们在排列组合、线性代数等领域都有着广泛的应用。通过深入探讨轮换与对换的关系，我们可以更好地理解数学中的这些概念，并进一步拓展我们的数学思维。

文 | 海豚投研全球折扣零售王者— $ 开市客 ( COST.US ) 于 9 月 26 日美股盘后，发布了截至 8 月底的 2025 财年 4 季度财报。大体上 Costco 的也就增长仍是比较平稳的，收入和经营利润双双维持 8%~9% 的增长，但也暴露出了一些潜在的问题，具体来看：1、名义同店增长看似平稳，但客流已明显走弱：最关键的经营指标，Costco 本季度整体同店销售增速为 5.7%，相比上季持平，看起来依旧平稳。但同店客流量的增长已明显下滑到仅 3.7%，是近 3 年来的最低水平。本季名义同店增速仍保持平稳，更多是因为价格因素的支撑。进入了量弱价增，这种不太健康的增长结构。剔除油气和汇率后的同店销售增速，实际在近 3 个季度已从 9.1% 明显放缓到了 6.4%。2、剔除油气和汇率后，客单价上行幅度并没扩大：价格因素上，名义客单价增长看起来本季度明显走高，本季同比提升 1.9% vs. 上季的 0.4%。但这主要是因油价和汇率的影响，剔除后实际近 3 个季度客单价的增幅是收窄的，价格冲击的高峰在财年 1Q 季度已经过去。但，一方面随趋势上确实在收窄，但近 3 个季度 2.6%~3.2% 的客单价绝对增幅仍是近年来较高水平，还是体现了通胀影响的。3、线上客流逆势增长：相比线下门店的客流疲软，Costco 本季电商销售额同比增长 13.6%，表现明显更平稳。原因是本季 Costco线上站点流量同比增长 27%，反比上季的 20% 有不小提速。 线下门店客流增长走弱，线上流量却明显增加，看起来确实暗示着消费者有转向更 " 实惠低价 " 购物渠道的倾向。4、门店保持较高扩张速度：本季度内公司净新增了 9 家门店到 914 家，开店节奏依旧较快，比上季的 8 家再有小幅提速。部分抵消了同店增速并不很强劲的影响，因此本季 Costco 商品销售收入仍同比增长了 8%，和上季持平。5、会员费收提速但续费了下降：会员费收入本季约 $17 亿，同比大幅增长 14%，明显提速，也跑赢预期。其中，本季付费会员环比增加了 140 万人，同比增长 6.3%，增长势头比较平稳。而平均单会员付费价格为 $85（年化），则同比大增 7.3%，是本季会费收入增长强于预期的核心原因。但相对的，Costco 的会员续费率则连续三个季度持续下滑，全球整体续费有自 1Q22 以来首次跌破 90%。公司先前对此的解释是，早先 23 年推出的线上会员和折扣会目前进入了会员续费期，而这部分用户的续费意愿并不高的影响。6、通胀下毛利率和费用率双增：由于通胀下油气价格的下降和人力成本的上升，Costco 进入了毛利率和费用率双双上升的情况。首先，商品销售毛利率为 11.13%，同比提升了 13bps。据公司披露，绝大部分的毛利走高（10bps）是来自油气价格的下降。除此之外，公司核心零售业务毛利的提高，被附加业务毛利的下滑和后进先出（LIFO）规则下成本的上升的影响抵消后，贡献了剩下 3bps 的零售毛利率上升。7、费用率扩张更快、更持续？类似的，本季公司的销售 & 管理费用占收入比重为 9.21%，同比扩大了 17bps，高于毛利扩张的幅度。结合公司披露，排除油气价格的影响后，门店扩张，人力成本上升，经营时间增长等其他经营性因素贡献了 9bps 的费用率扩张。看起来，费率的扩张有更多的经营性和持续性因素。8、费用扩张拖累利润增长：由于费用率同比扩张的幅度高于销售毛利率扩张幅度，导致零售业务的利润率收窄（因会费收入的增长，公司整体的经营利润率还是走高的）。因此，本季公司的经营利润为 33.4 亿，小幅跑输预期的 33.8 亿。同比增速也跌至个位数的 9.8%，继续向收入增速靠拢。利润表现无疑并不好。净利润上，则因本季的税率由上季的 26.2%，下滑到了 25.6%，因此净利润为 26.1 亿，同比增速更高达 10.9%，也反过来稍高于了市场预期。海豚投研观点：如同之前的惯例，Costco 的最大特色之一就在于业绩的稳定性和穿越经济周期的增长能力，本次财报整理来看也同样是收入和利润双双维持高个位数 % 增长，各项指标相比市场预期的偏离幅度或好或坏，也不过在正负 2% 之内。可以说，没有真正意义上很差的信号。但从边际的小幅变动趋势，或者说信号上，近两个季度以来透露出的趋势确实不那么的好。一方面，虽然常规口径下的同店销售增速仍保持平稳，但最底层的客流量增速却已连续两个季度放缓，本季度程度尤其明显。而商业内，量的增长永远是比价格增长更持续、更健康的。从这一点看，虽然近几个季度 Costco 的客单价（剔除汇率和油气）并没有明显向上的趋势，但似乎仍是体现出了消费者因价格走高，转向更便宜的消费驱动的倾向。这一点从 Costco 自身更强的线上增长，以及偏弱的续费了也都有体现。当然考虑到，公司目前也在相对较高的门店扩张期，也不排除是因为近期新开门店较多，导致拖累了单店的表现，这可以关注管理层的解释。但逻辑上应当不会只是新店的影响。同时，从成本和费用角度，虽然在销售端 Costco 确实有能力将商品成本的走高，传递给供应链或者消费者承担，自身的毛利率持续在走高。但费用端，人力成本的上升，更多新门店所需的经营爬坡期，这些产生的费用扩张是需要由公司自身承担的。影响了公司先前长期体现的利润跑赢收入的优异表现。整体来看，若后续美国的通胀持续顽固，那么对消费的利空和人力成本上升这两点的影响也大概率会持续，那么虽然不会影响 Costco 的长期确定性，但在中短期内 Costco 可能会面临逆风。同时，虽然市场看起来已经接受了 Costco 约在 50x~60x PE 这一明显高于均值的估值，也不否认有其合理性。但毕竟绝对角度这仍是个相对高的估值，也要谨慎看待可能的估值回调风险。以下为详细点评：一、客流量增长明显趋缓，但油价、汇率、开店利好下，营收增长仍不错1、客流量增长明显下滑，看似平稳的同店增长已依赖于价格上涨核心经营指标，Costco 本季度整体同店销售增速为 5.7%，相比上季持平，整体上增长仍比较平稳。但从价量驱动因素上，同店客流量本季的增长明显下滑到仅 3.7%，是近 3 年来的最低水平。再结合，剔除油气价格和汇率影响后的同店销售增速实际在随着客流量增长的放缓一同持续走低。而名义同店销售增速的平稳则更多归功于油气价格的下降和汇率的利好的共同影响。价格因素上，名义客单价增长看起来本季度明显走高，但剔除油价和汇率因素后，实际近几个季度客单价的增幅是收窄的（当然增速绝对值还是较高）。2、分市场看，美国和国际市场都是同店客流量增长明显趋缓分地区来看，剔除汇率和油气价格的影响后，美国和加拿大以外的国际市场内的同店销售增速也都呈明显下滑的趋势，增速分别环比收窄了 1.9pct 和 1.3pct。同样也是因这两个地区同店客流量增速的收窄。类似的，加拿大地区则因本就客流量增速依然不错，同店销售增速也并未明显下滑。小结来看即，在反映到财报上的名义销售增速，因油气和汇率的利好还保持着平稳的表现，但更真实的客流量和调整后单店增速已连续两个季度收窄。3、线上客流却逆势走高作为后疫情时代的增长新动力，Costco 本季电商销售额同比增长 13.6%，相比门店销售增速，表现明显更平稳。原因是，本季 Costco线上站点流量同比增长 27%，比上季的 20% 的反而有不小提速。结合起来看，线下门店客流增长走弱，线上流量却明显增加（但线上的销售转化率也是下降的），看起来确实暗示着消费者有转向更 " 实惠低价 " 购物渠道的倾向。4、整体上，如上文所述，虽然更 " 真实 " 的同店销售在走弱，但名义上的同店增长依然平稳。并且本季度内新增了 9 家门店，开店节奏依旧较快，对收入增长有拉动作用，因此本季度 Costco 整体商品销售收入仍同比增长了 8%，和上季持平。二、会费收入加速但续费率下降绝对体量不高但贡献可观利润的会员费收入本季约 $17 亿，同比大幅增长 14%，明显提速，也跑赢预期。价量驱动上，本季度付费会员环比增加了 140 万人，同比增长 6.3%，增长势头比较平稳。相比之下，本季平均单会员付费价格 $85（年化），同比大增 7.3%，价格因素是本季会费收入增长强于预期的核心原因。海豚认为，一方面，公司在去年 9 月执行的会员提价，以及高等级 Executive member 的占比的持续提升，是会费上升背后的原因。本季共 140 万的新增会员中，Executive 等级用户就占了 110 万。不过，相对的公司的会员续费率则连续三个季度持续下滑，无论是在北美市场，还是全球范围都是如此。虽然公司对此的解释是，因先前 23 年推出的线上会员和折扣会进入会员续费期，而这部分用户的续费意愿并不高的影响。但海豚猜测，会费的提升、对会员身份检查的严格、和通胀压力下客流量增长的放缓，这些因素也有可能是续费率下滑的诱因。三、通胀下毛利率和费用率双升，但后者影响更大拖累利润增长1、财务指标上，本季 Costco 实现总收入 $862 亿，同比增长 8.1%，表现平稳且符合预期。2、更可能产生预期差的毛利润和费用支出上，由于近期油气价格的下降和人力成本的上升，Costco 进入了毛利率和费用率双双上升的情况。具体来看，本季度商品销售毛利率为 11.13% 同比提升了 13bps，使得商品毛利润额 $94 亿，同比增长 9.3%，跑赢收入增速且略好于市场预期。据公司的解释，本季毛利率同比走高的 13bps 中绝大部分（10bps）是来自油气价格的下降。除此之外，公司核心业务毛利的提高，被附加业务毛利的下滑和后进先出（LIFO）规则下成本的上升所大部分抵消，贡献了剩下 3bps 的零售毛利率上升。3、类似的，本季公司的销售 & 管理费用占收入比重为 9.21%，同比扩大了 17bps，高于毛利扩张的幅度。结合公司披露，剔除油气价格的影响，门店扩张，人力成本上升，经营时间增长等其他经营性因素则贡献 9bps 的费用率扩张。4、因此，整体上由于费用率同比扩张的幅度高于销售毛利率扩张幅度，且费用中非油气价格的中长期因素的影响更多。这使得一方面短期内公司的利润率受到拖累（因会费收入的增长，公司整体的经营利润率还是走高的），另一方面也让市场对公司中期内的利润率展望会有担忧。具体看，本季公司的经营利润为 33.4 亿，小幅跑输预期的 33.8 亿。并且经营利润的同比增速也跌至个位数的 9.8%，不再明显领跑收入增速。