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在数学的世界里，许多概念和操作都充满了逻辑性和规律性。其中，“轮换”与“对换”是两个看似相似，实则有着微妙差异的概念。本文将深入探讨这两种操作的关系，以及它们在数学中的应用。 首先，我们来看看“轮换”与“对换”的定义。在排列组合中，轮换是指将排列中的相邻元素依次向右移动一位，而保持排列的顺序不变。例如，将排列12345进行轮换，得到的结果是23451。对换，则是指将排列中的任意两个元素交换位置，而保持其他元素不变。例如，将排列12345中的1和2进行对换，得到的结果是21345。 从定义上来看，轮换与对换似乎没有太大的关系。然而，在数学中，两者之间存在着密切的联系。以下将从几个方面进行探讨。 首先，轮换与对换可以相互转化。以排列12345为例，我们可以将1和2进行对换，得到21345。这时，我们可以将21345看作是经过一次轮换得到的。反之，如果我们对21345进行轮换，得到的结果是23145，这又可以看作是对21345中的2和3进行对换的结果。因此，轮换与对换在数学上是相互关联的。 其次，轮换与对换在排列组合中有着广泛的应用。例如，在求解排列数时，我们可以利用轮换与对换的性质来简化计算。以排列12345为例，我们可以将其看作是经过若干次轮换得到的。假设经过n次轮换，得到的结果是anbn…cn。那么，排列12345的排列数就等于anbn…cn的排列数。这样，我们就可以通过计算anbn…cn的排列数来得到12345的排列数。 此外，轮换与对换在组合数学中也有着重要的应用。例如，在求解组合数时，我们可以利用轮换与对换的性质来简化计算。以组合数C(n, k)为例，我们可以将其看作是经过若干次轮换得到的。假设经过m次轮换，得到的结果是ambm…cm。那么，组合数C(n, k)就等于ambm…cm的组合数。这样，我们就可以通过计算ambm…cm的组合数来得到C(n, k)的值。 然而，尽管轮换与对换在数学中有着密切的联系，但它们之间也存在着一定的区别。首先，轮换是一种有序的操作，而对换是一种无序的操作。其次，轮换只能应用于排列，而对换则可以应用于排列和组合。 总之，轮换与对换是两种不同视角下的数学关系。它们在数学中有着广泛的应用，并且在一定程度上可以相互转化。通过深入探讨这两种操作的关系，我们可以更好地理解数学中的排列组合问题，提高我们的数学素养。

地方通识教育新学期样本：AI 是锦上添花还是空中楼阁？今年以来，AI 在教育中的角色不断引发争论。开年 DeepSeek 的出世，让「人人可用的 AI」成为社会话题。暑假里，学生用 AI 写作文、解题的现象频频登上热搜：有的孩子用它生成整篇作文，有的直接拿来当解题工具。家长担心孩子因此丧失学习能力，老师担心课堂秩序被打乱。一个核心问题开始反复被提及：AI 究竟该如何进入学校的课堂？「人人可用」并不意味着「人人会用」。AI 的普及正在制造新的教育分野：会用的学生，把它当作学习加速器；不会用的学生，只能在焦虑中被甩开。缺乏规范的使用，更容易让孩子陷入「抄作业式」的捷径，能力并没有真正提升。要想把 AI 从「工具」转化为「素养」，只有学校教育能提供公平的起点、统一的规范和系统的培养路径。这个九月，新学期的课程安排里已经出现了这样的尝试。九月开学，AI 相关课程在通识教育中有了更广泛的展开。各地做法不尽相同：有的写进了正式课程方案，有的作为跨学科探究的载体出现，也有不少学校以讲座、活动周的形式切入。这意味着，AI 教育已经不再局限于信息技术课堂或少量试点学校，而是逐渐进入通识教育的公共空间。不同地方的推进方式各异，但共同指向一点：AI 不再是课外的「新鲜事物」，而正在被纳入学校日常教育的考量之中。这个开学季，AI 从点上试水到面上普及2025 年秋季开学，人工智能通识教育已经从个别城市的试点，走向更大范围的制度化行动。北京是全国首个在全市范围内系统推进 AI 通识教育的城市。从今年 9 月起，全市 1400 余所中小学全面开设人工智能通识课程，覆盖 183 万余名学生。每个学年不少于 8 课时，小学以体验为主，中学强调认知与应用，高中则聚焦实践与跨学科创新。北京市还推出了「百千种子计划」，培养 AI 教师骨干，并在综合素质评价中纳入 AI 课程成果。紧随其后的是上海。按照《上海市推进实施人工智能赋能基础教育高质量发展的行动方案》，从 2025 年秋季起，义务教育阶段四年级、七年级统一开设《人工智能基础》地方课程，每周一课时，每年不少于 30 课时。这种常态化的安排，意味着 AI 课程首次进入了基础教育的主干体系。此后，杭州、深圳、天津、西安、温州等城市也在秋季开学推出各自的课程纲要，课时一般在每年 8 到 10 节不等，分阶段设计学习目标。杭州强调「认知理解—实践应用—创新设计—伦理思辨」的进阶路径，深圳则构建「基础 + 拓展 + 高阶」的课程体系，并依托「深教 AI 平台」整合企业资源。天津、西安等地，则侧重通过独立设课与学科融合结合的方式推进。与此同时，一些省域层面的行动也在新学期启动。云南发布《义务教育人工智能课程教学指南》，将普洱茶、民族服饰等地域元素融入课程内容，体现地方特色。山东提出「十大行动」，全面启动从课程纲要、标准实验室到教师培训、区域协同的体系建设。广西更是在行动方案中提出三年建成大中小学一体化的 AI 教育体系，目标直指中国—东盟人才合作高地。成都、江苏等地也相继推出「实验室 + 师资 + 评价」的全链条建设计划。可以看到，从单一城市试点到多个省市系统推进，AI 通识教育在这个新学期呈现出明显的加速态势。统一 8 课时，却走出了不同路径虽然时间上大多集中在 2025 年秋季学期，但不同地区在推进方式上体现出鲜明的共性与差异。共性首先体现在课时安排和分层设计。几乎所有省市都规定了「每学年至少 8 至 10 课时」的基本要求，并按照小学感知、初中理解、高中实践的逻辑递进。这说明，全国层面对 AI 教育的理解，已经从单纯的兴趣培养，转向系统化的素养培养。第二个共性在于师资和资源建设。北京推出「百千种子计划」，山东强调培育 100 名省级卓越教师、2000 名市县骨干，江苏提出三年轮训全覆盖，广西、云南则将 AI 培训纳入「国培」体系。几乎所有地方都意识到，师资不足是 AI 教育的最大瓶颈，因此将教师培训作为推进的核心措施。差异主要体现在两个层面。一是制度化深度不同。北京、上海、江苏等地明确将 AI 课程纳入地方课程纲要，甚至写进综合素质评价；而一些城市目前仍以活动周、讲座为主，更强调普及性体验。二是地域特色和资源整合的方式不同。比如云南把民族文化、边境管理融入课程，成都通过高校和企业参与形成「产教融合」，深圳则依托信息平台实现资源集约。这些差异反映出地方在结合自身条件探索多元路径，而不是单一模式。从宏观来看，全国正在形成三类推进模式：一种是「全面普及型」，代表是北京、上海，课程覆盖率和制度化程度高；一种是「特色探索型」，代表是云南、成都，把 AI 教育与地方文化和产业结合；还有一种是「普及过渡型」，更多地方通过活动或短期课程切入，逐步向系统化迈进。一门通识课，能否撬动教育的底层逻辑 ?AI 通识课的重要性在于三重价值，一是重塑核心素养，让学生在质疑、创造中提升批判性思维和数字能力；二是促进教育公平，通过统一普及缩小「会用」与「不会用」的差距；三是关乎未来竞争力，AI 技能已成为影响就业优势的关键。然而，现实中课程推进仍有张力：考试评价尚未跟进，家长和学生重视不足；教师队伍尚未更新，课堂多停留在演示层面。课程资源、师资培训和工具支撑的缺口，也让产业端的参与成为不可或缺的一环。在全球 AI 教育加速发展的背景下，中国青少年人工智能教育已呈现出多元并进的格局。从体系化的通识教育，到软硬结合的实践探索，再到零代码的模型训练与创客创新，不同路径共同推动了 AI 素养的普及与深化。首先，大厂平台强调完整体系与前沿技术融合。它们往往提供从课程到实验室建设的一体化方案，借助大模型、虚拟仿真、云服务等先进技术，降低了教育机构实施门槛，适合大规模推进 AI 教育。其次，另一些平台突出灵活性与低成本。通过图形化编程、软硬件兼容与开放社区，它们鼓励学生动手创造，更适合在有限预算下培养创新与实践能力。同时，也有平台聚焦于模型训练与原理可视化。通过简化数据集构建、模型训练和应用迁移，让学生能够亲身体验 AI 的核心流程，帮助他们从「会用 AI」走向「理解 AI」。在今年 9 月的腾讯全球数字生态大会上，腾讯教育发布了教育智能体平台 1.0。它并不是简单的「AI 工具箱」，而是一个围绕「课程—平台—工具—服务」搭建的全链路方案：既有面向中小学的 AIGC 创作工坊，用来支撑跨学科项目式学习；也有针对高等教育的「AI 百校行」，把大模型实训和竞赛引入高校课堂；在终身教育领域，江苏开放大学已率先开放平台，服务 20 万师生的日常学习与教学。腾讯的思路很清晰——要让 AI 从「课堂里的演示」变成「教学系统的一部分」。类似的探索并不止于腾讯。多鲸今年与无人机、机器人和科普教育企业的合作，也试图用「课程 + 硬件 + 赛事」的方式，让 AI 融入更具象的学习场景。无人机编程、机器人逻辑训练、沉浸式科普中心 …… 这些原本分散在校外培训和兴趣活动里的内容，正在以更制度化的方式进入校园。可以看到，政策自上而下推动课程框架，产业自下而上补足资源生态，二者在「AI 通识课」的交汇点形成合力。但未来几年，它能走多远，仍取决于评价体系。等到新课标和综合素质评价全面落地时，AI 通识课究竟会不会从「展示」走向「常态」，才会迎来真正的检验。更深层的意义在于，AI 不只是课堂的新技术，而是迫使教育直面一些根本问题：教师和 AI 如何分工？学生在 AI 社会里该学什么、怎么学？学校与社会、产业之间又该如何形成新的连接？地方通识课的探索，或许只是一次开端，但它已经在提醒我们：教育逻辑正在被重写。