近日行业报告公布新成果,轮换与对换：两种不同视角下的数学关系探讨

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在数学的世界里，许多概念和操作都充满了逻辑性和规律性。其中，“轮换”与“对换”是两个看似相似，实则有着微妙差异的概念。本文将深入探讨这两种操作的关系，以及它们在数学中的应用。 首先，我们来看看“轮换”与“对换”的定义。在排列组合中，轮换是指将排列中的相邻元素依次向右移动一位，而保持排列的顺序不变。例如，将排列12345进行轮换，得到的结果是23451。对换，则是指将排列中的任意两个元素交换位置，而保持其他元素不变。例如，将排列12345中的1和2进行对换，得到的结果是21345。 从定义上来看，轮换与对换似乎没有太大的关系。然而，在数学中，两者之间存在着密切的联系。以下将从几个方面进行探讨。 首先，轮换与对换可以相互转化。以排列12345为例，我们可以将1和2进行对换，得到21345。这时，我们可以将21345看作是经过一次轮换得到的。反之，如果我们对21345进行轮换，得到的结果是23145，这又可以看作是对21345中的2和3进行对换的结果。因此，轮换与对换在数学上是相互关联的。 其次，轮换与对换在排列组合中有着广泛的应用。例如，在求解排列数时，我们可以利用轮换与对换的性质来简化计算。以排列12345为例，我们可以将其看作是经过若干次轮换得到的。假设经过n次轮换，得到的结果是anbn…cn。那么，排列12345的排列数就等于anbn…cn的排列数。这样，我们就可以通过计算anbn…cn的排列数来得到12345的排列数。 此外，轮换与对换在组合数学中也有着重要的应用。例如，在求解组合数时，我们可以利用轮换与对换的性质来简化计算。以组合数C(n, k)为例，我们可以将其看作是经过若干次轮换得到的。假设经过m次轮换，得到的结果是ambm…cm。那么，组合数C(n, k)就等于ambm…cm的组合数。这样，我们就可以通过计算ambm…cm的组合数来得到C(n, k)的值。 然而，尽管轮换与对换在数学中有着密切的联系，但它们之间也存在着一定的区别。首先，轮换是一种有序的操作，而对换是一种无序的操作。其次，轮换只能应用于排列，而对换则可以应用于排列和组合。 总之，轮换与对换是两种不同视角下的数学关系。它们在数学中有着广泛的应用，并且在一定程度上可以相互转化。通过深入探讨这两种操作的关系，我们可以更好地理解数学中的排列组合问题，提高我们的数学素养。

英国《金融时报》发表了一篇很有意思的文章，标题是《特朗普对华政策 180 度大转弯》。文章是两个人的对话，主要意思是：鉴于中国军事上的强大崛起，美国现在只对台湾的芯片感兴趣，一旦美国建立起本土芯片产能，就可能放弃台湾。文章主要对话人是《金融时报》驻纽约的全球商业专栏作家兼副主编拉娜 · 福鲁哈尔，她也是 CNN 的全球经济分析师。她说，近年来，美国人在政治上达成的少数共识之一，就是需要在经济和政治上对中国采取更强硬的立场。因此，颇具趣味的是，过去几周，美国政府在处理与北京关系上的态度发生了真正的转变。福鲁哈尔举例说，美国国防部长赫格塞思表示不会寻求与中国发生冲突，而国务卿鲁比奥在 9 月初与中国外长会谈时也使用了比以往更为温和的外交措辞。此前，五角大楼一份泄露的备忘录还建议美国将重点从中国（包括台湾）转移到地区问题和国土安全上。福鲁哈尔认为，这些动向标志着美国对始于奥巴马政府时期 " 重返亚洲 " 战略的重大转变，在该战略中，美国应该将重点放在太平洋和中美关系上，远离中东及其冲突。这也标志着特朗普政府在其第一和第二任期内传递的信息发生了重大转变，第一任期说的是：中国是美国最大的敌人，美国必须为冷冲突和潜在的热冲突做好准备。国防部备忘录显然部分由负责政策事务的美国国防部副部长科尔比起草，他此前曾倡导重返亚洲，福鲁哈尔说，但科尔比现在却推行 " 门罗主义 " 式的政策，专注于维护美国本土的秩序。当然，问题是，为什么会有这样的转变？虽然一些报道暗示，美国，尤其是白宫，认为盟友和国际冲突是困难且令人难以应对的，但还有一个更深层次的真相：美国的军事能力根本不足以再 " 保护世界 "。文章说，拜登政府一直表示，一旦中国发动进攻，美国愿意保卫台湾（其实拜登只是那么一说，事后白宫和美国国务院总是表示美国对台政策没有改变——老胡注），但特朗普政府似乎主要对台湾半导体产业感兴趣。福鲁哈尔的感觉是，一旦美国本土芯片产业更加全面地复兴，白宫就不会太在意保护台湾了。福鲁哈尔说，许多美国人都支持这一立场。她喜欢把自己视为 " 自由民主的支持者 "，但 2023 年，她写了一篇文章，质疑美国保护台湾不被中国统一是否在军事上可行，或在政治上可行。她认为，必须认真思考：保护一个直接位于中国领土内的小岛，是否是对美国资源的最佳利用，无论是政治、经济还是军事上。她表示自己仍然不确定答案。她认为，当前正在走向一个更加区域化、而非全球化的世界，美国、中国（及其合作伙伴）和欧洲正处在日益分离的轨道上。这既是机遇，也是挑战。对话的另一人《金融时报》美国评论部编辑乔纳森 · 德比希尔说，试图从总统本人的言论中推断出任何连贯且经过精心设计的外交政策理论，显然是愚蠢之举，更何况，总统本人的言论还不足以推导出他内心深处的信念：国际关系是一种霍布斯（英国政治家）式的竞争，强者永远战胜弱者。但他认同福鲁哈尔的说法，认为可以从政府其他人的言论中看出一些人所说的 " 门罗主义 " 的轮廓——这是 19 世纪总统詹姆斯 · 门罗格言的 21 世纪版本。他认为，中国在西半球（尤其是拉丁美洲）的存在主要是经济而非军事，在经济领域，中国不仅超过美国和欧盟，成为拉丁美洲最大的贸易伙伴，而且通过 " 一带一路 " 倡议成为该地区基础设施项目的主要投资者。他举了秘鲁的例子，该国目前对华出口额超过对欧盟和美国的总和，同时，秘鲁也吸收了大量中国直接投资，尤其是在被誉为未来 " 南美上海 " 的钱凯大型港口项目上。他认为，中国在西半球的经济影响力并不是修订后的门罗主义所希望遏制的新兴威胁——它已经在整个美洲深深扎根，而且现在采取任何措施可能都已经太晚了。