本月监管部门发布研究成果,轮换与对换：探讨两者在数学中的紧密关系

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在数学的世界里，概念和原理错综复杂，相互交织。其中，“轮换”与“对换”是两个看似相似，实则有着微妙区别的概念。本文将深入探讨轮换与对换的关系，揭示它们在数学中的紧密联系。 首先，让我们明确这两个概念的定义。轮换，通常指将一组元素按照一定的顺序进行循环移动。而对换，则是指将一组元素中任意两个元素的位置进行交换。从定义上看，两者都涉及元素位置的变动，但它们在数学中的应用和意义却有着明显的差异。 在排列组合中，轮换与对换的关系尤为密切。例如，考虑一个由n个元素组成的排列，我们可以通过轮换来得到这个排列的所有可能的轮换排列。具体来说，对于任意一个排列，我们可以将其中的任意两个相邻元素进行轮换，然后继续对轮换后的排列进行轮换，如此循环，直到所有的元素都回到了原来的位置。这样，我们就得到了这个排列的所有轮换排列。 然而，对换与轮换的关系并非如此简单。虽然对换也可以改变元素的位置，但它并不一定涉及到所有元素。在排列组合中，对换通常用于描述两个元素之间的位置关系。例如，在一个由n个元素组成的排列中，如果我们将任意两个元素进行对换，那么这个排列将变为一个新的排列，这个新的排列与原来的排列之间的关系就是对换关系。 尽管轮换与对换在数学中的应用有所不同，但它们之间仍然存在着紧密的联系。以下是几个方面： 1. 轮换与对换的乘法原理：在排列组合中，轮换与对换的乘法原理表明，任意一个排列都可以表示为若干个轮换和对换的乘积。这个原理为排列组合的计算提供了重要的理论依据。 2. 轮换与对换的逆运算：在排列组合中，轮换和对换都可以进行逆运算。对于轮换，我们可以通过逆轮换来恢复原来的排列；对于对换，我们可以通过逆对换来恢复原来的排列。这种逆运算的关系使得轮换与对换在数学中具有可逆性。 3. 轮换与对换的对称性：在数学中，轮换与对换都具有对称性。对于轮换，我们可以将其中的任意两个相邻元素进行轮换，然后继续对轮换后的排列进行轮换，最终得到所有轮换排列；对于对换，我们可以将任意两个元素进行对换，然后继续对对换后的排列进行对换，最终得到所有对换排列。 总之，轮换与对换是数学中两个密切相关但又有区别的概念。它们在排列组合、线性代数等领域都有着广泛的应用。通过深入探讨轮换与对换的关系，我们可以更好地理解数学中的这些概念，并进一步拓展我们的数学思维。

本文来自微信公众号：国民经略 （ID：guominjinglve），作者：凯风，原文标题：《撤并镇街，突然开始了》，头图来自：AI 生成镇街合并，拉开大幕。日前，广东汕尾、揭阳、肇庆三地相继发布公告，推进部分镇街合并，减少行政管理层级，节约行政成本，提高行政效率，做强镇街经济。过去几年来，全国已有多地推进镇街合并，力度最大的当属东北，甚至出现逆城市化的 " 撤区设县 "、" 撤街设镇 "。从镇街合并到区县合并，还有多远？一经济第一大省，为何也要合并镇街？过去 20 多年来，我国经历了多轮区划调整，从 " 撤镇设街 "、" 撤县建市 "、" 撤县设区 " 再到 " 省会扩容 "，一直都是增量扩张思维。如今，当人口格局发生变化，城市步入存量时代，区划调整的天平开始向另一端倾斜，" 撤并镇街 " 乃至区县调整陆续登场。当所有人以为东北、中西部避无可避，没想到广东先行一步。要知道，广东是人口第一大省，也是人口净流入第一大省，一直保持增长态势。然而，人口总体增长与个别地区人口减少，地市人口增长与区县、镇街人口调整，并不矛盾。毕竟，人口既会在全国范围内 " 孔雀东南飞 "，也会在省域内部流动转移。这一次纳入调整的镇街，多数位于粤东西北地区，或珠三角边缘地带，都有一些共同特征：街道面积较小，户籍人口较少，且存在人户分离现象。所谓 " 人户分离 "，常住地与户籍地不在一起，用大白话来说，就是许多人去了外地务工。镇街合并之后，既可 " 精简行政机构，节约行政成本 "，又能 " 统筹区域资源、优化空间布局 "。这让人想到 20 多年前大范围镇街合并，当时广东近三分之一乡镇完成合并。彼时是高增长时期，主要是出于做大镇街经济、应对快速发展的考虑。经过上一轮调整，一批千亿 GDP 强镇诞生，40 镇入围全国百强镇，广东由此成为 " 强镇经济 " 的领跑者。这一次虽然大背景有所不同，但目标并无差别——在节省行政成本的同时，做大镇域经济，助力 " 百千万工程 " 建设。二中西部和东北地区，也不远了。人口依旧净流入的广东，率先迈出步伐。面临人口流失、自然人口负增长双重压力的其他地区，恐怕不会等太久。未来，不只是镇街，一些人口小县，人口收缩的城区乃至地级市，同样难以置身事外。在这方面，顶层政策早已有所布局，日前发布的城市文件提出：" 推动中小城市结合常住人口变动趋势，动态优化基础设施布局、公共服务供给，按程序稳慎优化行政区划设置 "。这其中的关键在于 " 常住人口变动趋势 "。一旦常住人口减少，与之相匹配的财政供养人员、大基建等，自然要随之调整。根据吴康教授团队统计，在已公布数据的县区中，2010 — 2020 年常住人口减少的近 1500 个，其中约 1240 个为县和县级市。其中，约有 1/6 县域人口减少了 20% 以上，属于严重流失；近三分之一流失 10%-20%，属于明显流失。这些人口收缩的区县，主要集中于东北地区、西部和中部地区，东北尤甚。与区县相比，镇街人口变动幅度更大，人口流失的地方只会更为庞大。在许多县域，只有地处县城的城关镇，人口还能保持扩张，其他乡镇多数处于收缩状态。值得一提的是，这还是 5 年之前的数据。最近几年，全国人口大盘见顶，抢人大战日益白热化，未来人口收缩地区只会有增无减。从东北到西部再到中部，从镇街到人口小县再到部分市辖区，调整或将逐步到来。三撤区设县、撤街设镇，谁是先行者？早在 2019 年，黑龙江伊春市进行了史上最大规模的区划调整，一次性撤销 15 个市辖区，设立 4 县 4 区，一次性减少 11 个区，部分辖区被改设为县。同一时期，黑龙江省伊春市和齐齐哈尔市多个街道被撤销，复设为镇，这一举动被媒体称为 " 撤街设镇 "。从 " 撤区设县 " 到 " 撤街设镇 "，与常规的城市化潮流相背离，隐隐有了 " 逆城市化 " 的迹象。要知道，在城市化突飞猛进之时，乡镇、县域无不寻求升格为街道、市辖区，融入城市发展的大合唱。然而，最近几年，随着人口大盘见顶，加上城市发展面临 " 两个转向 "，部分地区率先遭遇收缩困境。人口流失，传统支柱产业优势不再，过去为适应城市发展而设立的市辖区、街道，面临行政成本过高、财政负担过重、独立性不强等问题，亟待变革。同时，部分地区由于人口不足，不再符合街道设立的标准，无论街道合并，还是复归乡镇，都是务实之举。县城和乡镇，财权、规划权都相对独立，拥有更为自主的管理权限，更利于自力更生。当然，绝大多数地方并不存在逆城市化现象，但镇街、区县调整，或将成为共同选择。无论如何，尊重城市规律，及时 " 瘦身强体 "，告别扩张思维，才是长远之计。