今日研究机构传递行业研究成果,轮换与对换：探讨两者在数学中的紧密关系

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近日观测中心传出重要预警:本月研究机构发布新研究成果,轮换与对换：探讨两者在数学中的紧密关系

在数学的世界里，概念和原理错综复杂，相互交织。其中，“轮换”与“对换”是两个看似相似，实则有着微妙区别的概念。本文将深入探讨轮换与对换的关系，揭示它们在数学中的紧密联系。 首先，让我们明确这两个概念的定义。轮换，通常指将一组元素按照一定的顺序进行循环移动。而对换，则是指将一组元素中任意两个元素的位置进行交换。从定义上看，两者都涉及元素位置的变动，但它们在数学中的应用和意义却有着明显的差异。 在排列组合中，轮换与对换的关系尤为密切。例如，考虑一个由n个元素组成的排列，我们可以通过轮换来得到这个排列的所有可能的轮换排列。具体来说，对于任意一个排列，我们可以将其中的任意两个相邻元素进行轮换，然后继续对轮换后的排列进行轮换，如此循环，直到所有的元素都回到了原来的位置。这样，我们就得到了这个排列的所有轮换排列。 然而，对换与轮换的关系并非如此简单。虽然对换也可以改变元素的位置，但它并不一定涉及到所有元素。在排列组合中，对换通常用于描述两个元素之间的位置关系。例如，在一个由n个元素组成的排列中，如果我们将任意两个元素进行对换，那么这个排列将变为一个新的排列，这个新的排列与原来的排列之间的关系就是对换关系。 尽管轮换与对换在数学中的应用有所不同，但它们之间仍然存在着紧密的联系。以下是几个方面： 1. 轮换与对换的乘法原理：在排列组合中，轮换与对换的乘法原理表明，任意一个排列都可以表示为若干个轮换和对换的乘积。这个原理为排列组合的计算提供了重要的理论依据。 2. 轮换与对换的逆运算：在排列组合中，轮换和对换都可以进行逆运算。对于轮换，我们可以通过逆轮换来恢复原来的排列；对于对换，我们可以通过逆对换来恢复原来的排列。这种逆运算的关系使得轮换与对换在数学中具有可逆性。 3. 轮换与对换的对称性：在数学中，轮换与对换都具有对称性。对于轮换，我们可以将其中的任意两个相邻元素进行轮换，然后继续对轮换后的排列进行轮换，最终得到所有轮换排列；对于对换，我们可以将任意两个元素进行对换，然后继续对对换后的排列进行对换，最终得到所有对换排列。 总之，轮换与对换是数学中两个密切相关但又有区别的概念。它们在排列组合、线性代数等领域都有着广泛的应用。通过深入探讨轮换与对换的关系，我们可以更好地理解数学中的这些概念，并进一步拓展我们的数学思维。

沙特等海湾阿拉伯国家军事防务自主化的重要里程碑。▲沙特阿拉伯和巴基斯坦政府 17 日在利雅得正式签署共同战略防御协议。图 / 新华社文 | 王晋沙特阿拉伯和巴基斯坦签署的一项协议，在国际上引起震动。据央视新闻消息，当地时间 17 日，沙特阿拉伯与巴基斯坦签署了一项防御协议，协议规定任何对其中一国的攻击将被视为对双方的攻击。协议规定，对沙特阿拉伯或巴基斯坦的任何袭击都是对两国的袭击。此外，沙特王储穆罕默德 · 本 · 萨勒曼和巴基斯坦总理夏巴兹 · 谢里夫当天在利雅得举行会晤，讨论了加强两国在各个领域战略伙伴关系的途径，并就地区和国际发展、共同关心的问题以及实现安全与稳定的努力交换了意见。据报道，当被问及巴基斯坦是否有义务根据该协议向沙特提供核保护时，一位沙特高级官员表示：" 这是一项涵盖所有军事手段的全面防御协议。"两国军事关系有着深厚历史背景巴基斯坦和沙特的军事关系，并非 " 心血来潮 "，而是有着深厚的历史背景。这两个国家，虽然地理距离较远，但在宗教思想、地缘政治、经济结构等方面，存在着先天的合作机遇。在宗教思想层面，沙特和巴基斯坦都奉行伊斯兰教逊尼派；在地缘政治层面，沙特和巴基斯坦都长期警惕和关注伊朗的战略动态；在经济结构方面，巴基斯坦希望获得来自沙特的经济援助。可以说，巴基斯坦和沙特之间的军事合作，早在历史上就建立起了非常扎实的基础。在 20 世纪 50 年代之后，巴基斯坦和沙特之间的军事合作逐渐密切。沙特开始聘请包括巴基斯坦军人作为军事顾问和军事教官，帮助培训沙特的军队。随着沙特石油经济在 20 世纪 70 年代的起飞，沙特能够动用更多的经济资源，加强同巴基斯坦的军事合作。随后，越来越多的巴基斯坦军事人员来到沙特，在沙特军队当中任职，甚至直接在沙特的军队当中承担防务任务。20 世纪 70 年代末，中东地区政治剧烈变化，沙特和巴基斯坦的军事合作迎来了新的机遇。伊朗伊斯兰革命的爆发，刺激了中东地区伊斯兰政治思想的崛起，伊朗在周边地区 " 输出革命 "，也使得沙特感到了直接的战略压力。1979 年，苏联入侵阿富汗，让沙特和巴基斯坦感受到了共同的战略压力。这一年年底，沙特国内爆发的 " 麦加大清真寺事件 "，最终是在巴基斯坦军队的帮助下平定了。巴基斯坦在沙特军事防务中发挥重要作用历史时常迂回转折。冷战结束前后，沙特在安全上逐渐倾向于利用美国的防务力量，保卫国家安全。1990 年海湾危机爆发后，面对来自伊拉克的军事威胁，沙特借助美国的军事力量增强国家安全能力。在这一时期，大量的美国军队进驻沙特，并在随后三十多年里深刻塑造了沙特和美国的紧密合作关系。与之相对的是，沙特和巴基斯坦的军事合作有所放缓。2001 年之后，随着美国开启中东 " 反恐战争 "，美国同时推动与巴基斯坦和沙特的紧密合作关系，沙特和巴基斯坦在军事合作领域的关系得以延续。2015 年，也门内战愈演愈烈，沙特决定向也门出兵干预，同时希望巴基斯坦派遣大规模军事力量进驻也门，帮助沙特打击也门北部的胡塞武装。但是，由于巴基斯坦国内反对，巴基斯坦军队进驻也门的设想并未成功。不过，巴基斯坦在沙特的军事防务中仍然发挥着重要的作用。在后勤装备、设备维护等方面，巴基斯坦军事人员协助沙特军队开展后勤和养护工作；在情报交流方面，沙特和巴基斯坦在反恐、反极端主义问题上开展合作；在经济合作领域，沙特通过经济援助、低价石油、放宽巴基斯坦劳工入境等方面，向巴基斯坦提供经济协助和支持。2019 年，巴基斯坦和沙特阿拉伯签署价值为 200 亿美元的投资协议和谅解备忘录，双方将把投资和贸易作为优先合作重点。据当时的两国联合声明，沙特将向巴基斯坦投资 200 亿美元，涉及旅游业、矿业、石油化工业、农业等领域。沙特借助新的外部力量来平衡以色列两国合作看似突然，实则早有缘由。近期，中东局势骤变，以色列对卡塔尔发动的空袭成为关键转折点。随着以色列袭击卡塔尔，海湾阿拉伯国家对美国军事保护的 " 可靠性 "，展示出了疑虑情绪。传统上依赖美国作为安全保障者的海湾国家深感不安。长期以来，海湾阿拉伯国家往往主动放弃国防能力建设，转而依靠美国的军事援助驻军保护。一方面，沙特等海湾阿拉伯国家向美国购买大量的军事装备，以此绑定美国军工集团和沙特的安全关系，使得美国在中东地区重大议题上，对沙特展开军事保护。另一方面，美国也更加重视沙特等海湾阿拉伯国家的经济潜力，尤其是希望通过与海湾阿拉伯国家签署各类经济军事合作协议，重新提振美国自身的产业生产能力。但是，这一局势发生了改变。随着以色列在中东地区 " 四面出击 "，尤其是不久前对卡塔尔的军事袭击，展示出美国在面对复杂地缘问题时，可能放弃海湾阿拉伯国家的安全关切。作为美国最重要的 " 不破同盟 " 之一，以色列战斗机在中东地区随意出击，既没有被美国在中东的军事基地拦截，也没有被美国直接干预和追责，仅仅口头批评 " 罚酒三杯 " 草草了事。更为重要的是，在阿拉伯国家看来，以色列近期四面出击，不仅削弱了哈马斯、黎巴嫩 " 真主党 "、叙利亚政府等周边威胁力量，还多次直接打击伊朗本土，以色列 " 咄咄逼人 " 的态势愈发明显。在此背景下，沙特希望借助新的外部力量对以色列予以平衡，同时填充可能出现的美国防务 " 失踪 " 的情况。另外，值得注意的是，巴基斯坦拥有核武器。防御协议的签订，一定意义上也意味着，沙特拥有了核保护伞。海湾阿拉伯国家军事防务自主化的重要里程碑沙特阿拉伯与巴基斯坦签署防御协议，两国军事合作关系进一步强化，也象征着海湾阿拉伯国家对于美国军事信心的下降。相关军事合作的开展，象征着海湾阿拉伯国家探索军事自主化、防务独立性的重要尝试。这对于未来海湾阿拉伯国家之间的关系、中东地区形势乃至整个国际战略形势都会产生重要的影响。当然，应当指出的是，沙特和巴基斯坦的防务合作，难以完全替代美国对沙特军事防务的重要性。巴基斯坦虽然拥有核武器，但整体军事实力仍然有限，其对于地区议题的直接介入也面临很多的国内掣肘。同时，除了巴基斯坦，沙特也在积极推动同其他海湾阿拉伯国家，在 " 海湾阿拉伯国家合作委员会 " 框架下的军事合作机制。因此，对于沙特和巴基斯坦的军事合作，不应低估，但也不宜过高评估。但是，作为对美国地区防卫职责缺失的直接反应，沙特和巴基斯坦的军事合作，可被视为沙特等海湾阿拉伯国家军事防务自主化的重要里程碑。撰稿 / 王晋（西北大学国际战略研究中心主任）