本周官方更新行业通报,轮换与对换：两种不同视角下的数学关系探讨

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在数学的世界里，许多概念和操作都充满了逻辑性和规律性。其中，“轮换”与“对换”是两个看似相似，实则有着微妙差异的概念。本文将深入探讨这两种操作的关系，以及它们在数学中的应用。 首先，我们来看看“轮换”与“对换”的定义。在排列组合中，轮换是指将排列中的相邻元素依次向右移动一位，而保持排列的顺序不变。例如，将排列12345进行轮换，得到的结果是23451。对换，则是指将排列中的任意两个元素交换位置，而保持其他元素不变。例如，将排列12345中的1和2进行对换，得到的结果是21345。 从定义上来看，轮换与对换似乎没有太大的关系。然而，在数学中，两者之间存在着密切的联系。以下将从几个方面进行探讨。 首先，轮换与对换可以相互转化。以排列12345为例，我们可以将1和2进行对换，得到21345。这时，我们可以将21345看作是经过一次轮换得到的。反之，如果我们对21345进行轮换，得到的结果是23145，这又可以看作是对21345中的2和3进行对换的结果。因此，轮换与对换在数学上是相互关联的。 其次，轮换与对换在排列组合中有着广泛的应用。例如，在求解排列数时，我们可以利用轮换与对换的性质来简化计算。以排列12345为例，我们可以将其看作是经过若干次轮换得到的。假设经过n次轮换，得到的结果是anbn…cn。那么，排列12345的排列数就等于anbn…cn的排列数。这样，我们就可以通过计算anbn…cn的排列数来得到12345的排列数。 此外，轮换与对换在组合数学中也有着重要的应用。例如，在求解组合数时，我们可以利用轮换与对换的性质来简化计算。以组合数C(n, k)为例，我们可以将其看作是经过若干次轮换得到的。假设经过m次轮换，得到的结果是ambm…cm。那么，组合数C(n, k)就等于ambm…cm的组合数。这样，我们就可以通过计算ambm…cm的组合数来得到C(n, k)的值。 然而，尽管轮换与对换在数学中有着密切的联系，但它们之间也存在着一定的区别。首先，轮换是一种有序的操作，而对换是一种无序的操作。其次，轮换只能应用于排列，而对换则可以应用于排列和组合。 总之，轮换与对换是两种不同视角下的数学关系。它们在数学中有着广泛的应用，并且在一定程度上可以相互转化。通过深入探讨这两种操作的关系，我们可以更好地理解数学中的排列组合问题，提高我们的数学素养。

2025 年以来，A 股表现领跑全球，AI、机器人为首的科技板块成为市场最强主线。但出乎很多人意料的是，有色金属板块指数同期大涨超 60%，涨幅仅次于科技，悄然成为市场另一条主线。那么，这是否意味着有色金属已开启了新一轮上行周期？大爆发背后2021 年 9 月见顶之后，有色金属经历了长达三年多的调整，最大跌幅几近腰斩。而 2025 年以来，该板块迎来了集体大反弹。据统计，截至 9 月 24 日，板块内 10 家公司股价翻倍，50 多家涨幅超过 60%，表现比肩科技。这轮行情爆发并非偶然，背后主要有两方面原因。一方面，以贵金属、小金属为代表的商品价格开启暴涨模式，带动相关企业业绩高速增长。尤其是黄金。全球新兴市场央行加速 " 去美元 "，大手笔增持黄金，叠加市场对美元信用及美元债务的担忧。国际金价从年初 2600 多美元狂飙至如今的 3800 美元，整体涨幅超四成。金价狂飙，A 股金企业绩已开始兑现。2025 年上半年，紫金矿业、赤峰黄金归母净利润均同比大增 55%，山东黄金翻倍有余。小金属中的锑也迎来爆发。短短一年多时间，欧洲锑报价狂涨 5 倍，国内也一度大涨 2 倍。中国是全球锑最重要的供应国，占比达八成，主要将海外锑矿进口至国内，经深加工后出口海外。2024 年 8 月，国内监管部门对锑进行出口管制，12 月又原则上禁止对美出口，最终引爆了锑价。此外，铝、铜、锌为首的工业金属，以及镍、钴、锂为首的能源金属的价格也有不同程度的上涨。尤其是钴价表现最为突出，从 2 月最低的 16 万元 / 吨狂飙至如今的 29 万元 / 吨，主要得益于供应全球近八成的刚果（金）三次延期钴出口禁令，一举逆转了全球钴供应过剩的局面。另一方面，有色金属板块在行情启动前，PB 估值仅 2 倍出头，处于近十年来的低位。在业绩反转、A 股稳步抬升的背景下，有色金属自然也会迎来估值修复。▲有色金属历年 PB 走势图，来源：Wind铜价易涨难跌在本轮有色金属行情中，铜、铝为首的工业金属涨幅相对靠后，但未来潜力可能并不小。2025 年以来，伦敦铜价整体上涨 13%，逼近历史新高。从中期维度看，铜价易涨难跌，大概率还将延续上行趋势。供给端，铜产能增长乏力。虽然铜价已处于历史高位，但全球主要铜企资本开支依旧谨慎，当前水平远低于 2012 年峰值。过去几年，只有少数中国矿业龙头在全球拿资源逆势扩张。同时，全球优质铜矿资源不可避免的减少，开采成本也会因品位下降而上升。智利作为全球最大铜生产国，铜矿品位已从 2005 年的 1% 降至 2023 年的 0.64%。2025 年第二季度，全球 20 家主要铜企中有一半出现产量同比下滑，矿石品位下降是减产主要原因之一。其中，自由港、嘉能可、南方铜业、英美资源等大型矿企均面临产能萎缩压力。而铜需求不断增长。中国作为铜消费大国，占据半壁江山。其中，电网领域投资规模庞大，已成铜消费的基本盘。据国家能源局数据，2025 年前 7 月电网投资额超 3300 亿元，同比增长 12.5%，而过去四年同比增长 1%、2%、5% 和 15%，不断加速。电网投资高速扩张，源于新能源并网需求、特高压等重大项目建设以及配电网升级改造。这将成为未来拉动铜需求的重要力量。其次，新能源汽车、光伏、风电等新兴产业也将会是铜需求增长的核心动力。全球最大矿业公司必和必拓曾发布报告显示，到 2050 年，与能源转型相关的行业将占铜需求的 23%，而目前这一比例仅为 7%。除产业供需层面外，铜作为 " 有色之王 "，还具有明显的金融属性，即流动性充沛支撑的投机属性。2025 年 9 月 18 日，美联储宣布降息 25 个基点。这是自 2024 年 12 月以来的首次降息，并预测年内还将降息两次。作为全球央行的央行，美联储重启降息周期将从流动性维度支撑全球股市以及商品市场，自然也有利于铜价趋势性表现。在此背景下，以洛阳钼业为代表的铜企龙头在年内实现股价翻倍。截至 9 月 24 日，公司 PB 为 3.73 倍，PE 为 16 倍。这高估了吗？从股价表现看，洛阳钼业在 2025 年 7 月才突破 2018 年创下的历史高点。而这些年公司业绩上了好几个台阶。尤其是过去四年，归母净利润实现了 50% 以上的复合高增。可见，洛阳钼业 2025 年股价实现翻倍，更多是对过去几年业绩增长的一种补涨，当前估值水平并不离谱。除铜资源股外，下游铜合金材料企业也将受益于铜产业高景气度。尤其是博威合金表现突出，近年来实现了业绩与估值的双击。这背后离不开公司铜合金材料对新能源汽车、下游 AI 服务器等新兴行业应用的渗透，且逐步站稳了中高端市场。值得一提的是，博威合金已进入苹果产业链，供货 iPhone 17 Pro，也足以证明其实力不俗。▲博威合金历年归母净利润走势图，来源：Wind电解铝，供改大赢家除铜外，铝产业链的确定性也不可小觑。上一轮供给侧改革使铝产业成为最大赢家之一。2017 年，四部委联合发布《清理整顿电解铝行业违法违规项目专项行动工作方案》，明确电解铝 4500 万吨的产能 " 天花板 "，闲置产能只能通过技改置换或淘汰退出。当年便清理了 800 万吨违规产能。截至 2025 年 7 月，中国电解铝产量超 4300 万吨，已逼近监管划定的产能红线。而铝需求持续增长，且消费结构发生了巨变。2019 年之前，电解铝需求前三大行业为房地产、汽车和电子电气，占比为 40%、30% 和 8%。到了 2024 年，这一比例变为 24%、24% 和 26%。其中，电子电气里面增长最猛的是光伏产业，有效对冲了房地产用铝量的下滑。要知道，过去五年，中国光伏新增装机量翻了九倍之多，而 1GW 装机消耗 1.6 万吨铝。铝供给触顶，需求不断扩张，供不应求即将到来。据天风证券预测，2025-2027 年，电解铝供需平衡为 18.4 万吨、-8.5 万吨和 -35.5 万吨。可见，铝价也可能迎来一波上涨潮。中国电解铝企业因供给侧改革大为获益，业绩已有所体现。2024 年，中国宏桥、中国铝业、天山铝业、云铝股份的归母净利润同比增长 95%、85%、102% 和 12%。其中，中国宏桥覆盖铝全产业链，且上游握有几内亚大量矿产资源，具备明显成本优势。中国铝业则为全球氧化铝第一大供应商（主营也包括电解铝），但这一中间产品产能过剩短期内难以逆转，盈利能力不如下游的电解铝。而天山铝业、云铝股份优势在于能源自给率较高，成本控制能力也不差。对比来看，截至二季度末，中国宏桥净利率为 16.7%，是四大铝企中最高且改善最明显的一家。中国铝业因氧化铝业务拖累，净利率不足 10%，排名垫底。不可否认的是，以上四家铝企都可能因铝价潜在上涨而受益，只是业绩增速会有所差异。▲四大铝企净利率走势图，来源：Wind总之，无论是铜、铝，还是其他贵金属、小金属，价格上行周期大概率还未结束，戴维斯双击的故事可能还将持续。当然，区分真正受益的龙头和蹭概念的伪龙头也至关重要，两者对应的空间与风险截然不同。