本月行业报告公开研究成果,轮换与对换：探讨两者在数学中的紧密关系

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在数学的世界里，概念和原理错综复杂，相互交织。其中，“轮换”与“对换”是两个看似相似，实则有着微妙区别的概念。本文将深入探讨轮换与对换的关系，揭示它们在数学中的紧密联系。 首先，让我们明确这两个概念的定义。轮换，通常指将一组元素按照一定的顺序进行循环移动。而对换，则是指将一组元素中任意两个元素的位置进行交换。从定义上看，两者都涉及元素位置的变动，但它们在数学中的应用和意义却有着明显的差异。 在排列组合中，轮换与对换的关系尤为密切。例如，考虑一个由n个元素组成的排列，我们可以通过轮换来得到这个排列的所有可能的轮换排列。具体来说，对于任意一个排列，我们可以将其中的任意两个相邻元素进行轮换，然后继续对轮换后的排列进行轮换，如此循环，直到所有的元素都回到了原来的位置。这样，我们就得到了这个排列的所有轮换排列。 然而，对换与轮换的关系并非如此简单。虽然对换也可以改变元素的位置，但它并不一定涉及到所有元素。在排列组合中，对换通常用于描述两个元素之间的位置关系。例如，在一个由n个元素组成的排列中，如果我们将任意两个元素进行对换，那么这个排列将变为一个新的排列，这个新的排列与原来的排列之间的关系就是对换关系。 尽管轮换与对换在数学中的应用有所不同，但它们之间仍然存在着紧密的联系。以下是几个方面： 1. 轮换与对换的乘法原理：在排列组合中，轮换与对换的乘法原理表明，任意一个排列都可以表示为若干个轮换和对换的乘积。这个原理为排列组合的计算提供了重要的理论依据。 2. 轮换与对换的逆运算：在排列组合中，轮换和对换都可以进行逆运算。对于轮换，我们可以通过逆轮换来恢复原来的排列；对于对换，我们可以通过逆对换来恢复原来的排列。这种逆运算的关系使得轮换与对换在数学中具有可逆性。 3. 轮换与对换的对称性：在数学中，轮换与对换都具有对称性。对于轮换，我们可以将其中的任意两个相邻元素进行轮换，然后继续对轮换后的排列进行轮换，最终得到所有轮换排列；对于对换，我们可以将任意两个元素进行对换，然后继续对对换后的排列进行对换，最终得到所有对换排列。 总之，轮换与对换是数学中两个密切相关但又有区别的概念。它们在排列组合、线性代数等领域都有着广泛的应用。通过深入探讨轮换与对换的关系，我们可以更好地理解数学中的这些概念，并进一步拓展我们的数学思维。

据海客新闻援引美国 ABC 7 电视台 9 月 2 日报道，美国加州圣马特奥一家公司研发的飞行汽车，已经与两家机场签约，开始试运营。早在 2023 年北美国际车展上，Alef Aeronautics 旗下飞行汽车 Model A 就已经正式亮相。在外观方面，Model A 和小鹏、广汽等品牌的飞行汽车完全不同，没有外露式的螺旋桨，造型上更贴合汽车的传统设计，拥有四个车轮、前后灯组以及方块式的车身。当然，细节上显然有明显不同，毕竟车辆的驱动方式完全改变，比如四个车轮隐藏在内部，不再裸露在外，中间的车舱采用球形设计，且位于车身正中央。据了解，Model A 可以垂直或水平起飞，最多可搭载两人。这款飞行汽车既可以在城市道路行驶，也能开到天上，满电状态下，水平飞行可达 177 公里，地面行驶可达 322 公里，其售价 30 万美元（约合人民币 214.3 万元）。Alef 已经致力于飞行汽车的研发约十年。2017 年，Alef 向特斯拉和 Space X 的早期投资人蒂姆・德雷珀（Tim Draper）展示了一款原型。德雷珀的风险投资公司 Draper Associates 随即为 Alef 提供了 300 万美元的种子资金。另外，Alef 还获得了马斯克创立的 SpaceX 的投资。同时，Alef 也在研发其第二款飞行汽车—— "Model Z"，预计起售价约为 35000 美元（当前约 25 万元人民币），计划于 2035 年发布。编辑| 何小桃 杜波校对 | 程鹏每日经济新闻综合海客新闻、每经 APP 等